未知的味觉

1、主成分分析（principal component analysis，PCA）

英文学习网站：http://www.dcs.gla.ac.uk/~mc/1stYearReport/2.6_PCA.htm
主成分分析适用情况：多变量大样本分析中，变量间存在共线性，增加了分析的复杂性。若分别分析各个指标，分析有可能是孤立的，而不是综合的；盲目地减少指标又有可能损失很多信息，得出错误结论。欲采用较少指标，反映原资料大部分信息，可采用主成分分析和因子分析。也可以这样讲，任何一个度量指标的好坏除了可靠、真实之外，还必须能充分反映个体间的变异。如果有一项指标，不同个体的取值都大同小异，那么该指标不能用来区分不同的个体。由这一点来看，一项指标在个体间的变异越大越好。因此我们把“变异大”作为“好”的标准来寻求综合指标。

主成分分析概念： PCA是将分散在一组变量上的信息,集中到某几个综合指标(主成分)上的一种探索性统计分析方法。它利用降维的思想,将多个变量化为少数几个互不相关的主成分,从而描述数据集的内部结构。

主成分分析的几何意义：参见上面数据表1例中的的数据点是六维的；也就是说，每个观测值是 6 维空间中的一个点。我们希望把 6 维空间用低维空间表示。

　 　先假定只有二维，即只有两个变量，它们由横坐标和纵坐标所代表；因此每个观测值都有相应于这两个坐标轴的两个坐标值；如果这些数据形成一个椭圆形状的点 阵（这在变量的二维正态的假定下是可能的），那么这个椭圆有一个长轴和一个短轴。在短轴方向上，数据变化很少；在极端的情况，短轴如果退化成一点，那只有 在长轴的方向才能够解释这些点的变化了；这样，由二维到一维的降维就自然完成了。

　　当坐标轴和椭圆的长短轴平行，那么代表长轴的变 量就描述了数据的主要变化，而代表短轴的变量就描述了数据的次要变化。但是，坐标轴通常并不和椭圆的长短轴平行。因此，需要寻找椭圆的长短轴，并进行变 换，使得新变量和椭圆的长短轴平行。如果长轴变量代表了数据包含的大部分信息，就用该变量代替原先的两个变量（舍去次要的一维），降维就完成了。椭圆 （球）的长短轴相差得越大，降维也越有道理。

　　对于多维变量的情况和二维类似，也有高维的椭球，只不过无法直观地看见罢了。

　　首先把高维椭球的主轴找出来，再用代表大多数数据信息的最长的几个轴作为新变量；这样，主成分分析就基本完成了。

　　注意，和二维情况类似，高维椭球的主轴也是互相垂直的。这些互相正交的新变量是原先变量的线性组合，叫做主成分 (principal component) 。

　　正如二维椭圆有两个主轴，三维椭球有三个主轴一样，有几个变量，就有几个主成分。

　　选择越少的主成分，降维就越好。什么是标准呢？那就是这些被选的主成分所代表的主轴的长度之和占了主轴长度总和的大部分。有些文献建议，所选的主轴总长度占所有主轴长度之和的大约 85% 即可，其实，这只是一个大体的说法；具体选几个，要看实际情况而定。